Question

5．已知函數(shù)y=x+$\frac{a}{x}$（a＞0）在區(qū)間$（0，\sqrt{a}]$上單調(diào)遞減，在區(qū)間$[\sqrt{a}，+∞）$上單調(diào)遞增；函數(shù)$h（x）={（{x^2}+\frac{1}{x}）^3}+{（x+\frac{1}{x^2}）^3}（x∈[\frac{1}{2}，2]）$
（1）請(qǐng)寫出函數(shù)f（x）=x²+$\frac{a}{x^2}$（a＞0）與函數(shù)g（x）=xⁿ+$\frac{a}{x^n}$（a＞0，n∈N，n≥3）在（0，+∞）的單調(diào)區(qū)間（只寫結(jié)論，不證明）；
（2）求函數(shù)h（x）的最值；
（3）討論方程h²（x）-3mh（x）+2m²=0（0＜m≤30）實(shí)根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由已知函數(shù)y=x+$\frac{a}{x}$的單調(diào)區(qū)間，即可得到所求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）化簡(jiǎn)h（x）的函數(shù)式，再由已知結(jié)論，可得函數(shù)h（x）在$[\frac{1}{2}，1]$單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增，即可得到所求函數(shù)的最值；
（3）化簡(jiǎn)方程可得，h（x）=m或h（x）=2m，又函數(shù)h（x）在$[\frac{1}{2}，1]$單調(diào)遞減，在[1，2]單調(diào)遞增，討論0＜m＜8，m=8，8＜m＜16，16＜m≤30，即可得到方程的根的個(gè)數(shù)．

解答 解：（1）根據(jù)條件，$f（x）={x^2}+\frac{a}{x^2}（a＞0）$的單調(diào)遞減區(qū)間是$（0，\root{4}{a}]$，
單調(diào)遞增區(qū)間是$[\root{4}{a}，+∞）$；
函數(shù)$g（x）={x^n}+\frac{a}{x^n}$的單調(diào)遞減區(qū)間是$（0，\root{2n}{a}]$，單調(diào)遞增區(qū)間是$[\root{2n}{a}，+∞）$；
（2）$h（x）={（{x^2}+\frac{1}{x}）^3}+{（x+\frac{1}{x^2}）^3}$=$（{x^6}+\frac{1}{x^6}）+4（{x^3}+\frac{1}{x^3}）+6$
由（1）可知，${x^6}+\frac{1}{x^6}$與$4（{x^3}+\frac{1}{x^3}）$均在$[\frac{1}{2}，1]$單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增，
則有函數(shù)h（x）在$[\frac{1}{2}，1]$單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增，
所以$h_{min}^{\;}=h（1）=16$，${h_{max}}=h（\frac{1}{2}）=h（2）={（\frac{9}{2}）^3}+{（\frac{9}{4}）^3}=\frac{6561}{64}$；
（3）由h²（x）-3mh（x）+2m²=0可得（h（x）-m）（h（x）-2m）=0，
所以有h（x）=m或h（x）=2m，
又函數(shù)h（x）在$[\frac{1}{2}，1]$單調(diào)遞減，在[1，2]單調(diào)遞增，
而$h（1）=16，h（\frac{1}{2}）=h（2）=\frac{6561}{64}$，
所以當(dāng)0＜2m＜16⇒0＜m＜8時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根；
當(dāng)2m=16⇒m=8時(shí)，有一個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)0＜m＜16，且60＞2m＞16即8＜m＜16，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)m=16，2m=32，方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)$16＜m≤30，2m≤60＜\frac{6561}{64}$時(shí)，方程有四個(gè)實(shí)數(shù)根．
綜上，①當(dāng)0＜m＜8時(shí)，方程實(shí)根個(gè)數(shù)為0；
②當(dāng)m=8時(shí)，方程實(shí)根個(gè)數(shù)為1；
③當(dāng)8＜m＜16時(shí)，方程實(shí)根個(gè)數(shù)為2；
④當(dāng)m=16，2m=32時(shí)，方程實(shí)根個(gè)數(shù)為3；
⑤當(dāng)16＜m≤30時(shí)，方程實(shí)根個(gè)數(shù)為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和最值，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．