Question

17．如圖，橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)A（0，-1），且離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）經(jīng)過點(diǎn)（1，1），且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P，Q（均異于點(diǎn)A），證明：直線AP與AQ斜率之和為2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）由題意設(shè)直線PQ的方程為y=k（x-1）+1（k≠0），代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，化簡(jiǎn)計(jì)算即可得到結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由題設(shè)知，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，b=1，
結(jié)合a²=b²+c²，解得a=$\sqrt{2}$，
所以$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（Ⅱ）證明：由題意設(shè)直線PQ的方程為y=k（x-1）+1（k≠0），
代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，
可得（1+2k²）x²-4k（k-1）x+2k（k-2）=0，
由已知得（1，1）在橢圓外，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），x₁x₂≠0，
則x₁+x₂=$\frac{4k（k-1）}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2k（k-2）}{1+2{k}^{2}}$，
且△=16k²（k-1）²-8k（k-2）（1+2k²）＞0，解得k＞0或k＜-2．
則有直線AP，AQ的斜率之和為k_AP+k_AQ=$\frac{{y}_{1}+1}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}+1}{{x}_{2}}$
=$\frac{k{x}_{1}+2-k}{{x}_{1}}$+$\frac{k{x}_{2}+2-k}{{x}_{2}}$=2k+（2-k）（$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$）=2k+（2-k）•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=2k+（2-k）•$\frac{4k（k-1）}{2k（k-2）}$=2k-2（k-1）=2．
即有直線AP與AQ斜率之和為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率和方程的運(yùn)用，聯(lián)立直線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查直線的斜率公式，屬于中檔題．