Question

12．過(guò)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）右焦點(diǎn)F（1，0）的直線與橢圓C交于兩點(diǎn)A、B，自A、B向直線x=5作垂線，垂足分別為A₁、B₁，且$\frac{|A{A}_{1}|}{AF}$=$\sqrt{5}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）記△AFA₁、△FA₁B₁、△BFB₁的面積分別為S₁、S₂、S₃，證明：$\frac{{S}_{1}•{S}_{3}}{{{S}_{2}}^{2}}$是定值，并求出該定值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)點(diǎn)A（x，y），寫出|AA₁|、|AF|的表達(dá)式，由$\frac{|A{A}_{1}|}{AF}$=$\sqrt{5}$求出橢圓C的方程；
（2）根據(jù)題意可設(shè)直線方程為x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）；由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$得（4m²+5）y²+8my-16=0，由根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合題意求出△AFA₁的面積S₁，△FA₁B₁的面積S₂，△BFB₁的面積S₃，計(jì)算$\frac{{S}_{1}{•S}_{3}}{{{S}_{2}}^{2}}$的值即可．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)A（x，y），則|AA₁|=5-x，|AF|=$\sqrt{{（x-1）}^{2}{+y}^{2}}$，
由$\frac{|A{A}_{1}|}{AF}$=$\sqrt{5}$，得$\frac{|5-x|}{\sqrt{{（x-1）}^{2}{+y}^{2}}}$=$\sqrt{5}$，
化簡(jiǎn)得$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
由A是橢圓C上任一點(diǎn)，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）證明：∵直線AB的斜率不可以為0，而可以不存在，
∴可設(shè)直線方程為：x=my+1；
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）；
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，
消去x得（4m²+5）y²+8my-16=0；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}{+y}_{2}=-\frac{8m}{{4m}^{2}+5}}\\{{{y}_{1}y}_{2}=-\frac{16}{{4m}^{2}+5}}\end{array}\right.$（*）；
由題意：△AFA₁的面積為S₁=$\frac{1}{2}$|AA₁|•|y₁|=$\frac{1}{2}$|5-x₁|•|y₁|，
△FA₁B₁的面積為S₂=$\frac{1}{2}$|BB₁|•|y₂|=$\frac{1}{2}$|5-x₂|•|y₂|，
△BFB₁的面積為S₃=$\frac{1}{2}$|A₁B₁|•4=2|y₁-y₂|；
∴$\frac{{S}_{1}{•S}_{3}}{{{S}_{2}}^{2}}$=$\frac{1}{16}$•$\frac{（5{-x}_{1}）（5{-x}_{2}）（{{-y}_{1}y}_{2}）}{{{（y}_{1}{-y}_{2}）}^{2}}$
=$\frac{1}{16}$•$\frac{（4-{my}_{1}）（4-{my}_{2}）（{{-y}_{1}y}_{2}）}{{{（y}_{1}{-y}_{2}）}^{2}}$
=-$\frac{1}{16}$•$\frac{{{y}_{1}y}_{2}[16-4m{（y}_{1}{+y}_{2}）{{{+m}^{2}y}_{1}y}_{2}]}{{{（y}_{1}{+y}_{2}）}^{2}-{{4y}_{1}y}_{2}}$，
將（*）式代入上述式子，化簡(jiǎn)并計(jì)算可得
$\frac{{S}_{1}{•S}_{3}}{{{S}_{2}}^{2}}$=-$\frac{1}{16}$•$\frac{-\frac{16}{{4m}^{2}+5}•[16-4m•（-\frac{8m}{{4m}^{2}+5}）{+m}^{2}•（-\frac{16}{{4m}^{2}+5}）]}{{（-\frac{8m}{{4m}^{2}+5}）}^{2}-4•（-\frac{16}{{4m}^{2}+5}）}$=$\frac{1}{4}$；
∴$\frac{{S}_{1}•{S}_{3}}{{{S}_{2}}^{2}}$是定值，且該定值是$\frac{1}{4}$．
（注意直線AB的點(diǎn)斜式方程需討論斜率不存在的情況，沒(méi)有討論須扣分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與橢圓方程的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與直線的斜率存在與否進(jìn)行分類討論的問(wèn)題，是綜合題．