Question

17．如圖，三棱錐P-ABC中，底面ABC為等邊三角形，O為△ABC的中心，平面PBC⊥平面ABC，PB=PC=BC=$\sqrt{3}$，D為AP上一點(diǎn)，且AD=2DP．
（I）求證：DO∥平面PBC；
（II）求證：AC⊥平面OBD；
（III）設(shè)M為PC的中點(diǎn)，求二面角M-BD-O的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AO交BC于E，連接PE，由重心的性質(zhì)可得DO∥PE，再由線面平行的判定可得DO∥平面PBC；
（Ⅱ）由PB=PC，且E為BC中點(diǎn)，可得PE⊥BC，再由面面垂直的性質(zhì)可得PE⊥平面ABC，結(jié)合（Ⅰ）可得DO⊥平面PBC，即DO⊥AC，又AC⊥BO，則由線面垂直的判定可得AC⊥平面DOB；
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，EA、EB、EP兩兩互相垂直，且E為BC的中點(diǎn)，分別以EA、EB、EP所在直線為z、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出所用點(diǎn)的坐標(biāo)，得到平面BDM與平面DBO的法向量．由兩法向量所成角的余弦值可得二面角M-BD-O的正弦值．

解答 （Ⅰ）證明：連接AO交BC于E，連接PE，
∵O為三角形ABC的中心，∴AO=2OE，
又∵AD=2DP，∴DO∥PE，
∵DO?平面PBC，PE?平面PBC，
∴DO∥平面PBC；
（Ⅱ）證明：∵PB=PC，且E為BC中點(diǎn)，∴PE⊥BC，
又平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC=BC，
∴PE⊥平面ABC，
由（Ⅰ）知，DO∥PE，∴DO⊥平面PBC，
∴DO⊥AC，
連接BO，則AC⊥BO，又DO∩BO=O，
∴AC⊥平面DOB；
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，EA、EB、EP兩兩互相垂直，且E為BC的中點(diǎn)，
∴分別以EA、EB、EP所在直線為z、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則有：A（$\frac{3}{2}$，0，0），B（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），P（0，0，$\frac{3}{2}$），D（$\frac{1}{2}$，0，1），C（0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），M（0，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{3}{4}$），
∴$\overrightarrow{DB}=（-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}，-1）$．
設(shè)平面BDM的法向量$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=-\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BM}=-\frac{3\sqrt{3}}{4}y+\frac{3}{4}z=0}\end{array}\right.$，令y=1，得$\overrightarrow{n}=（-\sqrt{3}，1，\sqrt{3}）$．
由（Ⅱ）知，AC⊥平面DBO，
∴$\overrightarrow{AC}=（-\frac{3}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}，0）$為平面DBO的法向量．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3+1+3}×\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{3}{4}}}=\frac{\sqrt{7}}{7}$．
∴sin＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{\sqrt{42}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行、直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求二面角的平面角，是中檔題．