Question

已知圓C的圓心C與點(diǎn)A（2，1）關(guān)于直線4x+2y-5=0對(duì)稱，圓C與直線x+y+2=0相切．
（Ⅰ）設(shè)Q為圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P（1，1），M（-2，-2），求

PQ

•

MQ

的最小值；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)P（1，1）作兩條相異直線分別與圓C相交于A，B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補(bǔ)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷直線OP和AB是否平行？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用,直線的傾斜角

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）根據(jù)點(diǎn)與直線的對(duì)稱性求出圓心，利用數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可求

PQ

•

MQ

的最小值；
（Ⅱ）利用直線和圓的方程聯(lián)立，結(jié)合直線的斜率公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：Ⅰ）設(shè)圓心C（a，b），則A，C的中點(diǎn)坐標(biāo)為（

a+2

2

，

b+1

2

），
∵圓心C與點(diǎn)A（2，1）關(guān)于直線4x+y-5=0，
∴

4× a+2 2 +2× b+1 2 -5=0 b-1 a-2 ×(-2)=-1

，
解得

a=0 b=0

，
∴圓心C（0，0）到直線x+y+2=0的距離r=

|2|

2

=

2

，
∴圓C的方程為x²+y²=2．
設(shè)Q（x，y），則x²+y²=2，

PQ

•

MQ

=（x-1，y-1）•（x+2，y+2）=x²+y²+x+y-4=x+y-2，
作直線l：x+y=0，向下平移此直線，當(dāng)與圓相切時(shí)，x+y取得最小值，
此時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1），
∴

PQ

•

MQ

的最小值-4．
（Ⅱ）由題意知，直線PA和直線PB的斜率存在，且互為相反數(shù)，
故可設(shè)PA：y-1=k（x-1），
PB：y-1=-k（x-1），由

y-1=k(x-1) x2+y2=2

，
得（1+k²）x²+2k（1-k）x+（1-k）²-2=0．
因?yàn)辄c(diǎn)P的橫坐標(biāo)x=1一定是該方程的解，
故可得xA=

k2-2k-1

1+k2

，
同理xB=

k2+2k-1

1+k2

，
則kAB=

yB-yA

xB-xA

=

-k(xB-1)-k(xA-1)

xB-xA

=

2k-k(xA+xB)

xB-xA

=1=k_OP
∴直線AB和OP一定平行．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，結(jié)合直線的對(duì)稱性和直線的斜率公式是解決本題的關(guān)鍵．