Question

10．（文）數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，對任意n∈N₊，有a_n+1=$\frac{2}{3}$S_n，則S_n=$（\frac{5}{3}）^{n-1}$．

Answer 1

分析 由題意求得S₁，并可得到數(shù)列{S_n}構(gòu)成以1為首項，以$\frac{5}{3}$為公比的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的通項公式求得S_n．

解答 解：∵a₁=1，∴S₁=a₁=1，
由a_n+1=$\frac{2}{3}$S_n，得${S}_{n+1}-{S}_{n}=\frac{2}{3}{S}_{n}$，即${S}_{n+1}=\frac{5}{3}{S}_{n}$，
∴$\frac{{S}_{n+1}}{{S}_{n}}=\frac{5}{3}$，
則數(shù)列{S_n}構(gòu)成以1為首項，以$\frac{5}{3}$為公比的等比數(shù)列，
∴${S}_{n}=1×（\frac{5}{3}）^{n-1}$=$（\frac{5}{3}）^{n-1}$．
故答案為：$（\frac{5}{3}）^{n-1}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，考查了等比數(shù)列通項公式的求法，是中檔題．