Question

15．設雙曲線的方程為$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$，其左，右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，若雙曲線右支上一點P滿足∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$3\sqrt{3}{a^2}$，則該雙曲線的離心率為2．

Answer 1

分析 利用余弦定理，可得4c²=4a²+|PF₁|•|PF₂|．根據(jù)S_△PF1F2=3$\sqrt{3}{a}^{2}$，可得|PF₁|•|PF₂|=12a²，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：由題意，F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），P（x₀，y₀）．
在△PF₁F₂中，由余弦定理，得：
|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|•cos$\frac{π}{3}$
=（|PF₁|-|PF₂|）²+|PF₁|•|PF₂|．
即4c²=4a²+|PF₁|•|PF₂|．
又∵S_△PF1F2=3$\sqrt{3}{a}^{2}$．
∴$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|•sin$\frac{π}{3}$=3$\sqrt{3}{a}^{2}$．
∴|PF₁|•|PF₂|=12a²．
∴4c²=4a²+12a²，即c=2a．
∴e=$\frac{c}{a}$=2．
故答案為：2．

點評 此題是個中檔題．考查雙曲線的定義及利用余弦定理解圓錐曲線的焦點三角形，解題過程注意整體代換的方法，簡化計算．