Question

已知點(diǎn)P（0，-1），橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，若三角形PF₁F₂的面積為1，且a²，b²的等比中項(xiàng)為2

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．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若橢圓C上有A，B兩點(diǎn)，使△PAB的重心為F₁，求直線AB的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用三角形的面積求出c，得到a²=b²+1，利用a²，b²的等比中項(xiàng)為2

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．列出方程即可求解橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F(xiàn)₁為△PAB的重心，利用

x1+x2+0

3

=-1，

y1+y2-1

3

=0，求出線段AB的中點(diǎn)，通過A，B在橢圓上，利用平方差法求出直線的斜率k=

21

8

，即可求直線AB的方程．

解答： （本小題滿分12分）
解：（1）S△PF1F2=

1

2

×2c×|-1|=c=1∴a²-b²=c²=1⇒a²=b²+1，
又a2b2=(2

14

)2=56⇒a2=8，b2=7，
橢圓方程為：

x2

8

+

y2

7

=1…（5分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵P（0，-1），F(xiàn)₁（-1，0），F(xiàn)₁為△PAB的重心，
∴

x1+x2+0

3

=-1，

y1+y2-1

3

=0，
∴x₁+x₂=-3，y₁+y₂=1，
∴線段AB的中點(diǎn)D(-

3

2

，

1

2

)…（7分）
∵A，B在橢圓上，

x12

8

+

y12

7

=1，

x22

8

+

y22

7

=1，
兩式相減，再將x₁+x₂=-3，y₁+y₂=1，k=

y1-y 2

x1-x2

代入得k=

21

8

，
直線AB方程為y-

1

2

=

21

8

(x+

3

2

)
即：42x-16y+71=0…（12分）

點(diǎn)評：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，橢圓方程的求法，平方差法與直線的斜率的靈活運(yùn)用，是中檔題．