Question

1．已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S₇=70，且a₁，a₂，a₆成等比數(shù)列
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ） 設(shè)b_n=$\frac{3}{{2{S_n}+4n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d≠0，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得$\left\{\begin{array}{l}{7{a}_{1}+\frac{7×6}{2}d=70}\\{{a}_{2}^{2}={a}_{1}{a}_{6}}\end{array}\right.$，解出即可；
（II）由（I）可得：S_n=$\frac{n（1+3n-2）}{2}$=$\frac{3{n}^{2}-n}{2}$．b_n=$\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d≠0，
∵S₇=70，且a₁，a₂，a₆成等比數(shù)列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{7{a}_{1}+\frac{7×6}{2}d=70}\\{{a}_{2}^{2}={a}_{1}{a}_{6}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+3d=10}\\{（{a}_{1}+d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+5d）}\end{array}\right.$，又d≠0，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=3}\end{array}\right.$，
∴a_n=1+3（n-1）=3n-2．
（II）由（I）可得：S_n=$\frac{n（1+3n-2）}{2}$=$\frac{3{n}^{2}-n}{2}$．
b_n=$\frac{3}{{2{S_n}+4n}}$=$\frac{3}{2×\frac{3{n}^{2}-n}{2}+4n}$=$\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．