Question

10．矩陣$（{\begin{array}{l}1&{{a_{12}}}&…&{{a_{1i}}}&…&{{a_{1n}}}\\ 2&{{a_{22}}}&…&{{a_{2i}}}&…&{{a_{2n}}}\\ 3&{{a_{32}}}&…&{{a_{3i}}}&…&{{a_{3n}}}\\?&?&?&?&?&?\\ n&{{a_{n2}}}&…&{{a_{ni}}}&…&{{a_{nn}}}\end{array}}）$中每一行都構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，第i列各元素之和為S_i，則$\lim_{n→∞}\frac{{{S_n}_{\;}}}{{{n^2}•{2^n}}}$=$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 先求出S_i=2^i-1（1+2+…+n）=$\frac{n（n+1）}{2}$•2^i-1，再求極限即可．

解答 解：∵矩陣$（{\begin{array}{l}1&{{a_{12}}}&…&{{a_{1i}}}&…&{{a_{1n}}}\\ 2&{{a_{22}}}&…&{{a_{2i}}}&…&{{a_{2n}}}\\ 3&{{a_{32}}}&…&{{a_{3i}}}&…&{{a_{3n}}}\\?&?&?&?&?&?\\ n&{{a_{n2}}}&…&{{a_{ni}}}&…&{{a_{nn}}}\end{array}}）$中每一行都構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，第i列各元素之和為S_i，
∴S_i=2^i-1（1+2+…+n）=$\frac{n（n+1）}{2}$•2^i-1，
∴$\lim_{n→∞}\frac{{{S_n}_{\;}}}{{{n^2}•{2^n}}}$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{n（n+1）}{4{n}^{2}}$=$\frac{1}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查數(shù)列的極限與求和，考查學(xué)生的計算能力，正確求和是關(guān)鍵．