Question

4．已知關(guān)于x的方程|x|-2alog₂（|x|+2）+a²=3有唯一實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的值為-1．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)f（x）=|x|-2alog₂（|x|+2）+a²，判斷函數(shù)是偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)先進(jìn)行求解，然后進(jìn)行檢驗(yàn)即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)f（x）=|x|-2alog₂（|x|+2）+a²，
則函數(shù)f（x）在定義域（-∞，+∞）上為偶函數(shù)，
若關(guān)于x的方程|x|-2alog₂（|x|+2）+a²=3有唯一實(shí)數(shù)解，
則等價(jià)為f（0）=3，
即f（0）=-2alog₂2+a²=a²-2a=3，
則a²-2a-3=0，
得a=3或a=-1，
當(dāng)a=3時(shí)，方程等價(jià)為|x|-6log₂（|x|+2）+9=3，
即|x|+6=6log₂（|x|+2），
作出函數(shù)y=|x|+6和y=6log₂（|x|+2）的圖象如圖，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)有3個(gè)交點(diǎn)，不滿足條件．
當(dāng)a=-1時(shí)，方程等價(jià)為|x|+2log₂（|x|+2）+1=3，
即2log₂（|x|+2）=2-|x|，
作出函數(shù)y=2-|x|和y=2log₂（|x|+2）的圖象如圖，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)有1個(gè)交點(diǎn)，滿足條件，
綜上a=-1，
故答案為：-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用及方程的根與函數(shù)的關(guān)系應(yīng)用，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，利用偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性建立方程關(guān)系求得a值是關(guān)鍵，是中檔題也是易錯(cuò)題．