Question

4．已知函數(shù)f（x）=（1+x）ⁿ，請利用這個(gè)函數(shù)，證明如下結(jié)論：
（1）C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ=2ⁿ
（2）C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=n•2^n-1．

Answer 1

分析 （1）利用二項(xiàng)式定理展開，再利用x=1即可得出．
（2）對(duì)f（x）求導(dǎo)，再令x=1，即可得出．

解答 證明：（1）∵$f（x）={（{1+x}）^n}=C_n^0+C_n^1x+C_n^2{x^2}+…+C_n^n{x^n}$…（3分）
∴x=1時(shí)，可得$f（1）=C_n^0+C_n^1+C_n^2+…+C_n^n={2^n}$…（6分）
（2）∵$f（x）={（{1+x}）^n}=C_n^0+C_n^1x+C_n^2{x^2}+…+C_n^n{x^n}$，
∴${f^'}（x）=n{（{1+x}）^{n-1}}=C_n^1+2C_n^2x+3C_n^3{x^2}+4C_n^4{x^4}+…+nC_n^n{x^{n-1}}$…（9分）
∴x=1時(shí)，可得${f^'}（1）=C_n^1+2C_n^2+3C_n^3+…+nC_n^n=n•{2^{n-1}}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．