Question

過(guò)點(diǎn)M（-2，0）做直線l交雙曲線x²-y²=1于A、B兩點(diǎn)，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在∠AOB=90°的直線l，若存在，求出l的方程，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：當(dāng)過(guò)M（-2，0）的直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=-2，和雙曲線方程聯(lián)立求出兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，經(jīng)驗(yàn)證不合題意，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，和雙曲線方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系點(diǎn)得到兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積，由∠AOB=90°得到x₁x₂+y₁y₂=0，進(jìn)一步得到（1-k²）x²-4k²x-4k²-1=0，把兩根的和與積代入后整理得到矛盾的式子，從而得到結(jié)論．
解答：解：當(dāng)過(guò)M（-2，0）的直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=-2，
把x=-2代入雙曲線x²-y²=1得，A（-2，），B（-2，-）．
此時(shí)不滿足∠AOB=90°，
當(dāng)過(guò)M（-2，0）的直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k（k≠0），
則直線l的方程為y=k（x+2），代入x²-y²=1得，
（1-k²）x²-4k²x-4k²-1=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則，若∠AOB=90°，
則x₁x₂+y₁y₂=
==0．
即．
整理得，9k²+1=0．此式顯然不成立．
所以，不存在使∠AOB=90°的直線l．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，直線與圓錐曲線的關(guān)系問(wèn)題，常用“設(shè)而不求的”解題方法，即利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系求得直線與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積，此題考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．