過點M(-2,0)做直線l交雙曲線x2-y2=1于A、B兩點,若O為坐標(biāo)原點,是否存在∠AOB=90°的直線l,若存在,求出l的方程,若不存在,說明理由.
分析:當(dāng)過M(-2,0)的直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=-2,和雙曲線方程聯(lián)立求出兩個交點的坐標(biāo),經(jīng)驗證不合題意,當(dāng)直線l的斜率存在時,和雙曲線方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系點得到兩個交點的橫坐標(biāo)的和與積,由∠AOB=90°得到x1x2+y1y2=0,進(jìn)一步得到(1-k2)x2-4k2x-4k2-1=0,把兩根的和與積代入后整理得到矛盾的式子,從而得到結(jié)論.
解答:解:當(dāng)過M(-2,0)的直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=-2,
把x=-2代入雙曲線x2-y2=1得,A(-2,
3
),B(-2,-
3
).
此時不滿足∠AOB=90°,
當(dāng)過M(-2,0)的直線l的斜率存在時,設(shè)斜率為k(k≠0),
則直線l的方程為y=k(x+2),代入x2-y2=1得,
(1-k2)x2-4k2x-4k2-1=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
x1+x2=
4k2
1-k2
,x1x2=-
4k2+1
1-k2
,若∠AOB=90°,
則x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1+2)(x2+2)
=(k2+1)x1x2+2k2(x1+x2)+4k2=0.
-
(k2+1)(4k2+1)
1-k2
+2k2
4k2
1-k2
+4k2=0

整理得,9k2+1=0.此式顯然不成立.
所以,不存在使∠AOB=90°的直線l.
點評:本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系,直線與圓錐曲線的關(guān)系問題,常用“設(shè)而不求的”解題方法,即利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系求得直線與圓錐曲線的兩個交點的橫坐標(biāo)的和與積,此題考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,是中檔題.
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3
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2
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