Question

過點(diǎn)M（-2，0）做直線l交雙曲線x²-y²=1于A、B兩點(diǎn)，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在∠AOB=90°的直線l，若存在，求出l的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

當(dāng)過M（-2，0）的直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=-2，
把x=-2代入雙曲線x²-y²=1得，A（-2，

3

），B（-2，-

3

）．
此時(shí)不滿足∠AOB=90°，
當(dāng)過M（-2，0）的直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k（k≠0），
則直線l的方程為y=k（x+2），代入x²-y²=1得，
（1-k²）x²-4k²x-4k²-1=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=

4k2

1-k2

，x1x2=-

4k2+1

1-k2

，若∠AOB=90°，
則x₁x₂+y₁y₂=x1x2+k2(x1+2)(x2+2)
=(k2+1)x1x2+2k2(x1+x2)+4k2=0．
即-

(k2+1)(4k2+1)

1-k2

+2k2

4k2

1-k2

+4k2=0．
整理得，9k²+1=0．此式顯然不成立．
所以，不存在使∠AOB=90°的直線l．