Question

3．某個(gè)公園有個(gè)池塘，其形狀為直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米，現(xiàn)在準(zhǔn)備養(yǎng)一批供游客觀賞的魚，分別在AB，BC，CA上取點(diǎn)D，E，F(xiàn)，如圖，使得EF∥AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求S_△DEF的最大值．

Answer 1

分析 設(shè)$\frac{CE}{CB}$=λ（0＜λ＜1），利用解直角三角形算出EF=2λ百米，再利用EF∥AB算出點(diǎn)D到EF的距離為h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1-λ）百米，從而得到S_△DEF=$\frac{1}{2}$EF•h表示成關(guān)于λ的函數(shù)式，利用基本不等式求最值即可算出△DEF面積S_△DEF的最大值．

解答 解：Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．
∴cosB=$\frac{1}{2}$，可得B=60°，
∵EF∥AB，∴∠CEF=∠B=60°
設(shè)$\frac{CE}{CB}$=λ（0＜λ＜1），則CE=λCB=λ百米，
Rt△CEF中，EF=2CE=2λ百米，C到FE的距離d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$λ百米，
∵C到AB的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$百米，
∴點(diǎn)D到EF的距離為h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$λ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1-λ）百米
可得S_△DEF=$\frac{1}{2}$EF•h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$λ（1-λ）百米²
∵λ（1-λ）≤$\frac{1}{4}$[λ+（1-λ）]²=$\frac{1}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)λ=$\frac{1}{2}$時(shí)等號(hào)成立
∴當(dāng)λ=$\frac{1}{2}$時(shí)，即E為AB中點(diǎn)時(shí)，S_△DEF的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{8}$百米²．

點(diǎn)評(píng) 本題在特殊直角三角形中求三角形面積的最值，著重考查了解直角三角形、正弦定理和三角恒等變換等知識(shí)，考查了在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)模型能力，屬于中檔題．