Question

12．某工廠為提升產(chǎn)品銷售，決定投入適當(dāng)廣告費進行促銷，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的銷售量M萬件與促銷費用x萬元滿足M=3-$\frac{2}{x+1}$（0≤x≤a，a為正常數(shù)），已知生產(chǎn)該批產(chǎn)品M萬件還需投入其他成本10+2M萬元，產(chǎn)品銷售價格定為（4+$\frac{20}{M}$）元/件．假定該廠家的生產(chǎn)能充分滿足市場需求．
（1）請將該產(chǎn)品的純利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數(shù)；
（2）促銷費用投入多少萬元時，工廠的利潤最大？

Answer 1

分析 （1）由題意可知，y=M（4+$\frac{20}{M}$）-x-（10+2M）=2M-x+10，把M=3-$\frac{2}{x+1}$，代入即可得出．
（2）求導(dǎo)y′=$-\frac{-4}{（x+1）^{2}}$-1，對a與1的大小關(guān)系分類討論即可得出．

解答 解：（1）由題意可知，y=M（4+$\frac{20}{M}$）-x-（10+2M）=2M-x+10，
∵M=3-$\frac{2}{x+1}$，
∴y=f（x）=16-$\frac{4}{x+1}$-x（0≤x≤a，a為正常數(shù)）．
（2）y′=$-\frac{-4}{（x+1）^{2}}$-1=$\frac{-{x}^{2}-2x+3}{（x+1）^{2}}$=$\frac{-（x-1）（x+3）}{（x+1）^{2}}$．
當(dāng)a＞1時，x∈（0，1）時，y′＞0，
∴函數(shù)f（x）在（0，1）上單增，在（1，a]上，y′＜0，
∴函數(shù)f（x）在（1，a]單減．
∴當(dāng)促銷費用為1萬元時，工廠的利潤最大．
當(dāng)0＜a≤1時，x∈（0，a）時，y′＞0，
∴函數(shù)f（x）在（0，a）上單增，在（a，1]上，y′＜0，
∴函數(shù)f（x）在（a，1]單減．
∴當(dāng)促銷費用為a萬元時，工廠的利潤最大．
故當(dāng)a＞1時，當(dāng)促銷費用為1萬元時，工廠的利潤最大．
當(dāng)0＜a≤1時，當(dāng)促銷費用為a萬元時，工廠的利潤最大．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、函數(shù)的應(yīng)用，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．