Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）是定義在（-∞，0）上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且有xf′（x）＞x²+3f（x），則不等式8f（x+2014）+（x+2014）³f（-2）＞0的解集為（　�。�

• A． （-∞，-2016）
• B． （-2018，-2016）
• C． （-2018，0）
• D． （-∞，-2018）

Answer 1

分析 根據(jù)條件，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．

解答 解：由xf′（x）＞x²+3f（x），（x＜0），
得：x²f′（x）-3xf（x）＜x³，
∵x＜0，
∴x³＜0，
即x²f′（x）-3xf（x）＜0，
設(shè)F（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，
則即[$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$]′=$\frac{x{[x}^{2}f′（x）-3xf（x）]}{{x}^{6}}$＞0，
則當(dāng)x＜0時(shí)，得F'（x）＞0，即F（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，
∴F（x+2014）=$\frac{f（x+2014）}{{（x+2014）}^{3}}$，F(xiàn)（-2）=$\frac{f（-）}{{（-2）}^{3}}$=-$\frac{f（-2）}{8}$，
即不等式8f（x+2014）+（x+2014）³f（-2）＞0等價(jià)為F（x+2014）-F（-2）＜0，
∵F（x）在（-∞，0）是增函數(shù)，
∴由F（x+2014）＜F（-2）得，x+2014＜-2，
即x＜-2016，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的解法，利用條件構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．