Question

20．已知圓C：x²+y²-ax+2y-a+4=0關(guān)于直線l₁：ax+3y-5=0對稱，過點P（3，-2）的直線l₂與圓C交于A，B兩點，則弦長|AB|的最小值為2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 圓C：x²+y²-ax+2y-a+4=0關(guān)于直線l₁：ax+3y-5=0對稱，直線必過圓心，可求解a的值，可得圓心坐標和半徑．過點P（3，-2）的直線l₂與圓C交于A，B兩點，則弦長|AB|的最小其直線l₂與同時過P點，圓心的直線垂直，可求直線l₂的方程，利用弦長公式可得答案．

解答 解：圓C：x²+y²-ax+2y-a+4=0，其圓心O為（$\frac{a}{2}$，-1），半徑r=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{a}^{2}+4-（4-a）^{2}}$
∵圓C關(guān)于直線l₁：ax+3y-5=0對稱，
∴有$\frac{{a}^{2}}{2}-3-5=0$，
解得：a=±4，
當(dāng)a=-4時，半徑小于0．
∴a=4
得圓心O為（2，-1）半徑r=$\sqrt{5}$．
∵點P（3，-2），弦長|AB|的最小，其直線l₂與同時過P點和圓心的直線垂直．
K_OP=-1，
則直線l₂的方程為y+2=x-3，即x-y-5=0．
圓心O到直線直線l₂的距離d=$\frac{|2+1-5|}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}$
弦長|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-aa0kogs^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
∴弦長|AB|的最小值為$2\sqrt{3}$．
故答案為$2\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的判斷，根據(jù)過點P（3，-2）的直線l₂與圓C交于A，B兩點，則弦長|AB|的最小其直線l₂與同時過P點和圓心的直線垂直是解決本題的關(guān)鍵．