Question

與圓C₁：（x+3）²+y²=1，圓C₂：（x-3）²+y²=9同時(shí)外切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：由已知得|MC₂|-|MC₁|=|BC₂|-|AC₁|=3-1=2．根據(jù)雙曲線的定義，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支，由此能求出其軌跡方程．

解答： 解：如圖所示，
設(shè)動(dòng)圓M與圓C₁及圓C₂分別外切于點(diǎn)A和點(diǎn)B，
根據(jù)兩圓外切的充要條件，得
|MC₁|-|AC₁|=|MA|，
|MC₂|-|BC₂|=|MB|．
因?yàn)閨MA|=|MB|，
所以|MC₂|-|MC₁|=|BC₂|-|AC₁|=3-1=2．
這表明動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C₂，C₁的距離之差是常數(shù)2．
根據(jù)雙曲線的定義，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支（點(diǎn)M到C₂的距離大，到C₁的距離�。�，
這里a=1，c=3，則b²=8，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），
其軌跡方程為x²-

y2

8

=1，（x≤-1）．
故答案為：x²-

y2

8

=1．（x≤-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查動(dòng)圓圓心的軌跡方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓、雙曲線簡(jiǎn)單性質(zhì)的合理運(yùn)用．