Question

7．已知函數(shù)f（x）=（x-t）|x|（t∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)t＞0時，若f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值為M（t），最小值為m（t），求M（t）-m（t）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)即可求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）討論t的范圍，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最值進(jìn)行求解即可．

解答 （Ⅰ）解：（1）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-tx，x≥0\\-{x^2}+tx，x＜0\end{array}\right.$，…（1分）
當(dāng)t＞0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為$[\frac{t}{2}，+∞），（-∞，0）$，單調(diào)減區(qū)間為[0，$\frac{t}{2}$]…（3分）
當(dāng)t=0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，+∞）…（4分）
當(dāng)t＜0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[0，+∞），$（-∞，\frac{t}{2}]$，單調(diào)減區(qū)間為$[\frac{t}{2}，0）$…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知t＞0時f（x）在（-∞，0）上遞增，在$（0，\frac{t}{2}）$上遞減，在$（\frac{t}{2}，+∞）$上遞增
從而    當(dāng)$\frac{t}{2}≥2$即t≥4時，M（t）=f（0）=0，…（7分），
m（t）=min{f（-1），f（2）}=min{-1-t，4-2t}…（8分）
所以，當(dāng)4≤t≤5時，m（t）=-1-t，
故M（t）-m（t）=1+t≥5…（9分）
當(dāng)t＞5時，m（t）=4-2t，故M（t）-m（t）=2t-4＞6…（10分）
當(dāng)$\frac{t}{2}$＜2≤t，即2≤t＜4時，M（t）=f（0）=0，m（t）=min{f（-1），f（$\frac{t}{2}$）}=min{-1-t，-$\frac{{t}^{2}}{4}$}=-1-t，…（11分）
所以，M（t）-m（t）=t+1≥3…（12分）
當(dāng)0＜t＜2時，M（t）=f（2）=4-2t…（13分）
m（t）=min{f（-1），f（$\frac{t}{2}$）}=min{-1-t，-$\frac{{t}^{2}}{4}$}=-1-t，…（11分）
所以，M（t）-m（t）=5-t＞3…（14分）
綜上所述，當(dāng)t=2時，M（t）-m（t）取得最小值為3．…（15分）

點評 本題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用，根據(jù)條件將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)形式，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．