Question

【題目】已知函數(shù)，R．

（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，求的值；

（2）求函數(shù)在上的最大值；

（3）當(dāng)時(shí)，若有3個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a值即可；（2）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)最大值即可；（3）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的極值，結(jié)合圖象判斷a的范圍即可．

（1）由，則．

因函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，得，

當(dāng)時(shí)，顯然滿(mǎn)足要求，所以．

（2）因 ，，

當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

則；

當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞減，

則；

當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以在遞減，在遞增，則．

又，故當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

綜上，在上的最大值

（3）因得或；

又，，，單調(diào)遞增；，，單調(diào)遞減；，，單調(diào)遞增，則，．

令，因R，所以R，所以與圖像相同．則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程不同實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)．

①當(dāng)(如圖1)，即時(shí)，，有唯一負(fù)實(shí)數(shù)解，則存在使，而只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，故只有一個(gè)實(shí)數(shù)解．

②當(dāng)（如圖2），即時(shí)，有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解，．

因，與各有一個(gè)實(shí)數(shù)解，故有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．

③當(dāng)時(shí)（如圖3），即，有三個(gè)不同實(shí)數(shù)解，，，

因，有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則與只能各有一個(gè)實(shí)數(shù)解．

則由（2）可知在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，

則

即由得，當(dāng)時(shí)，，

因，

故有．

綜上，時(shí)，若有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．