Question

某公司為了加大產品的宣傳力度，準備立一塊廣告牌，在其背面制作一個形如△ABC的支架，要求∠ACB=60°，BC的長度大于1米，且AC比AB長0.5米．為節(jié)省材料，要求AC的長度越短越好．求AC的最短長度，且當AC最短時，BC的長度為多少米？

Answer 1

分析：把三角形的三邊用未知數表示出來，利用余弦定理建立方程，將AC的長度表示成BC長度的函數，（題目中要求求AC的最小值）然后再根據題目條件確定求最值的方法，一般選用單調性法或者用基本不等式，本題所建立的函數關系可以用這兩種方法求最值，故給出了兩種求最值的方法．

解答：解：設BC=x米（x＞1），AC=y米，則AB=y-

1

2

．在△ABC中，
由余弦定理，得（y-

1

2

）²=y²+x²-2xycos60°．所以y=

x2- 1 4

x-1

（x＞1）．
法一：y=

x2- 1 4

x-1

=（x-1）+

3

4(x-1)

+2≥2+

3

．
當且僅當x-1=

3

4(x-1)

，即x=1+

3

2

時，y有最小值2+

3

．
法二：y′=

2x(x-1)-x2+ 1 4

(x-1)2

=

x2-2x+ 1 4

(x-1)2

．
由y′=0得x=1+

3

2

．因為當1＜x＜1+

3

2

時，y′＜0；當x＞1+

3

2

時，y′＞0，
所以當x=1+

3

2

時，y有最小值2+

3

．
答：AC的最短長度為2+

3

米，此時BC的長度為（1+

3

2

）米．

點評：本題考查余弦定理的應用，以之建立相關的函數，請答題者在做完這個題后，注意總結本題轉化的經驗，在求最值時要根據所給函數的形式靈活選用求最值的方法．