Question

16．設(shè)等差數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，則有以下性質(zhì)：S_k，S_2k-S_k，S_3k-S_2k，S_4k-S_3k（k≠1）成等差數(shù)列
（1）類比等差數(shù)列的上述性質(zhì)，寫出等比數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)積T_n的類似性質(zhì)；
（2）證明（1）中所得結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）類比等差數(shù)列的上述性質(zhì)，可得等比數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)積T_n的類似性質(zhì)：T_k，T_2k-T_k，T_3k-T_2k，T_4k-T_3k（k≠1）成等比數(shù)列．
（2）設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，可得T_k=b₁+b₂+…+b_k，T_2k-T_k=b_k+1+b_k+2+…+b_2k=q^kT_k，同理可得：T_3k-T_2k=q^k（T_3k-T_2k），T_4k-T_3k=q^k（T_3k-T_2k）．即可證明．

解答 （1）解：類比等差數(shù)列的上述性質(zhì)，可得等比數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)積T_n的類似性質(zhì)：T_k，T_2k-T_k，T_3k-T_2k，T_4k-T_3k（k≠1）成等比數(shù)列．
（2）證明：設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
則T_k=b₁+b₂+…+b_k，
T_2k-T_k=b_k+1+b_k+2+…+b_2k=q^k（b₁+b₂+…+b_k）=q^kT_k，
同理可得：T_3k-T_2k=q^k（T_3k-T_2k），
T_4k-T_3k=q^k（T_3k-T_2k）．
∴T_k，T_2k-T_k，T_3k-T_2k，T_4k-T_3k（k≠1）成等比數(shù)列．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式性質(zhì)及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．