Question

4．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（　　）

• A． $\frac{7}{3}$
• B． $\frac{17}{2}$
• C． 13
• D． $\frac{17+3\sqrt{10}}{2}$

Answer 1

分析 幾何體為三棱臺，其中兩個側面和底面垂直，上下底為直角三角形．利用勾股定理求出斜高．

解答 解由三視圖可知幾何體為三棱臺，作出直觀圖如圖所示，
則CC′⊥平面ABC，上下底均為等腰直角三角形，AC⊥BC，AC=BC=1，A′C′=B′C′=C′C=2，∴AB=$\sqrt{2}$，A′B′=2$\sqrt{2}$．
∴棱臺的上底面積為$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$，下底面積為$\frac{1}{2}×2×2$=2，梯形ACC′A′的面積為$\frac{1}{2}×$（1+2）×2=3，
梯形BCC′B′的面積為$\frac{1}{2}×（1+2）×2$=3，
過A作AD⊥A′C′于D，過D作DE⊥A′B′，則AD=CC′=2，DE為△A′B′C′斜邊高的$\frac{1}{2}$，
∴DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\frac{3}{\sqrt{2}}$．∴梯形ABB′A′的面積為$\frac{1}{2}×$（$\sqrt{2}+2\sqrt{2}$）×$\frac{3}{\sqrt{2}}$=$\frac{9}{2}$．
∴幾何體的表面積S=$\frac{1}{2}+2$$+3+3+\frac{9}{2}$=13．
故選：C．

點評 本題考查了棱臺的結構特征和三視圖，面積計算，屬于中檔題．