【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若對于任意的(為自然對數(shù)的底數(shù)),恒成立,求的取值范圍.
【答案】(I)當時, 的單調(diào)遞增區(qū)間為,無單調(diào)遞減區(qū)間;當時,的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間是;(II)
【解析】
(Ⅰ)求出,分兩種情況討論,在定義域內(nèi),分別令求得的范圍,可得函數(shù)增區(qū)間,求得的范圍,可得函數(shù)的減區(qū)間;(Ⅱ)對分四種情況討論,分別利用導數(shù)求出函數(shù)最小值的表達式,令最小值不小于零,即可篩選出符合題意的的取值范圍.
(Ⅰ)的定義域為.
.
(1)當時,恒成立,的單調(diào)遞增區(qū)間為,無單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)當時,由解得,由解得.
∴的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間是.
(Ⅱ)①當時,恒成立,在上單調(diào)遞增,
∴恒成立,符合題意.
②當時,由(Ⅰ)知,在、上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
(i)若,即時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
∴對任意的實數(shù),恒成立,只需,且.
而當時,
且成立.
∴符合題意.
(ii)若時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
∴對任意的實數(shù),恒成立,只需即可,
此時成立,
∴符合題意.
(iii)若,在上單調(diào)遞增.
∴對任意的實數(shù),恒成立,只需,
即,
∴符合題意.
綜上所述,實數(shù)的取值范圍是.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,點,點在軸上,點在軸非負半軸上,點滿足:
(1)當點在軸上移動時,求動點的軌跡C的方程;
(2)設(shè)為曲線C上一點,直線過點且與曲線C在點處的切線垂直,與C的另一個交點為,若以線段為直徑的圓經(jīng)過原點,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知直線l:x﹣y+4=0和圓O:x2+y2=4,P是直線l上一點,過點P作圓C的兩條切線,切點分別為M,N.
(1)若PM⊥PN,求點P坐標;
(2)若圓O上存在點A,B,使得∠APB=60°,求點P的橫坐標的取值范圍;
(3)設(shè)線段MN的中點為Q,l與x軸的交點為T,求線段TQ長的最大值.
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【題目】我國是世界上嚴重缺水的國家,某市為了制定合理的節(jié)水方案,對居民用水情況進行調(diào)查,通過抽樣,獲得某年100為居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求直方圖的的值;
(2)設(shè)該市有30萬居民,估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù),說明理由.
(3)估計居民月用水量的中位數(shù).
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【題目】隨著我國中醫(yī)學的發(fā)展,藥用昆蟲的使用相應愈來愈多.每年春暖以后至寒冬前,是昆蟲大量活動與繁殖季節(jié),易于采集各種藥用昆蟲.已知一只藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)與一定范圍內(nèi)的溫度有關(guān),于是科研人員在3月份的31天中隨機挑選了5天進行研究,現(xiàn)收集了該種藥用昆蟲的5組觀測數(shù)據(jù)如下表:
日期 | 2日 | 7日 | 15日 | 22日 | 30日 |
溫度 | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
產(chǎn)卵數(shù)/個 | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
(1)從這5天中任選2天,記這兩天藥用昆蟲的產(chǎn)卵分別為,,求事件“,均不小于25”的概率;
(2)科研人員確定的研究方案是:先從這五組數(shù)據(jù)中任選2組,用剩下的3組數(shù)據(jù)建立關(guān)于的線性回歸方程,再對被選取的2組數(shù)據(jù)進行檢驗.
(。┤暨x取的是3月2日與30日的兩組數(shù)據(jù),請根據(jù)3月7日、15日和22日這三天的數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程;
(ⅱ)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2個,則認為得到的線性回歸方程是可靠的,試問(。┲兴玫木性回歸方程是否可靠?
附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為,.
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【題目】已知{an}是等差數(shù)列,設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,且2bn=b1(1+Sn),bn≠0,又a2b2=4,a7+b3=11.
(1)求{an}和{bn}的通項公式;
(2)令cn=anbn(n∈N*),求{cn}的前n項和Tn
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面是矩形,平面,,點、分別在線段、上,且,其中,連接,延長與的延長線交于點,連接.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)若時,求二面角的正弦值;
(Ⅲ)若直線與平面所成角的正弦值為時,求值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列說法中,錯誤的是( )
A. 若命題,,則命題,
B. “”是“”的必要不充分條件
C. “若,則、中至少有一個不小于”的逆否命題是真命題
D. ,
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