Question

17．求y=$\sqrt{{x}^{2}+x+1}$+$\sqrt{{x}^{2}-x+1}$的最小值．

Answer 1

分析 把y=$\sqrt{{x}^{2}+x+1}$+$\sqrt{{x}^{2}-x+1}$化簡(jiǎn)成兩點(diǎn)之間距離公式形式：$\sqrt{（x+\frac{1}{2}）^{2}+（0-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$+$\sqrt{（x-\frac{1}{2}）^{2}+（0-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$，其幾何意義為：幾何意義為：P（x，0）到A（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）、B（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）兩點(diǎn)間的距離．

解答 解：由已知y=$\sqrt{{x}^{2}+x+1}$+$\sqrt{{x}^{2}-x+1}$化簡(jiǎn)：
y=$\sqrt{（x+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$+$\sqrt{（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$
=$\sqrt{（x+\frac{1}{2}）^{2}+（0-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$+$\sqrt{（x-\frac{1}{2}）^{2}+（0-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$      ①
①式的幾何意義為：P（x，0）到A（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）、B（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）兩點(diǎn)間的距離
如右圖所示，P到AB兩點(diǎn)之間的最短距離，即A'B的長(zhǎng)度．
作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'（$-\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式得：
A'B=$\sqrt{（-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}）^{2}+（-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=2

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用幾何法求解兩點(diǎn)之間的距離，屬難題．