Question

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，其中為常數(shù),且

（Ⅰ）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的公比，數(shù)列滿足，（求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅲ）設(shè)，，數(shù)列的前項(xiàng)和為

 

Answer 1

（1）見解析 （2） （3）

【解析】

試題分析：（1）證明一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列的基本方法有兩種：一是定義法：證明；二是等差中項(xiàng)法，證明，若證明一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需舉出反例即可；（2）根據(jù)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差求通項(xiàng)公式；根據(jù)等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比求通項(xiàng)公式；注意題中限制條件；（3）一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)的和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后做差求解.

試題解析：（Ⅰ）由，

相減得：，∴，

∴數(shù)列是等比數(shù)列．

（Ⅱ），∴，

∴是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列；∴，

∴．

（Ⅲ）時(shí)，，∴，

∴， ①

②

①②得，

.

考點(diǎn)：等比數(shù)列的定義及錯(cuò)位相減求數(shù)列的和..