Question

已知函數(shù)．

（1）若，解方程；

（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若且不等式對一切實數(shù)恒成立，求的取值范圍

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）

【解析】

試題分析：（1）對于含二次項恒成立的問題，注意討論二次項系數(shù)是否為0，這是學(xué)生容易漏掉的地方；恒成立問題一般需轉(zhuǎn)化為最值，利用單調(diào)性證明在閉區(qū)間的單調(diào)性．（2）一元二次不等式在上恒成立，看開口方向和判別式．（3）含參數(shù)的一元二次不等式在某區(qū)間內(nèi)恒成立的問題通常有兩種處理方法：一是利用二次函數(shù)在區(qū)間上的最值來處理；二是分離參數(shù)，再去求函數(shù)的最值來處理，一般后者比較簡單；（4）二次函數(shù)、二次方程與二次不等式統(tǒng)稱“三個”二次，它們常結(jié)合在一起，有關(guān)二次函數(shù)的問題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法，一般從：①開口方向；②對稱軸位置；③判別式；④端點值符合四個方面分析；二次函數(shù)的綜合問題應(yīng)用多涉及單調(diào)性與最值或二次方程根的分布問題，解決的主要思路是等價轉(zhuǎn)化，多用到數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想．

試題解析：【解析】
（1）當(dāng)時，， 故有

， 2分

當(dāng)時，由，有，解得或 3分

當(dāng)時，恒成立 4分

∴ 方程的解集為

5分

（2）， 7分

若在上單調(diào)遞增，則有

， 解得， 9分

∴ 當(dāng)時，在上單調(diào)遞增 10分

（3）設(shè)

則 11分

不等式對一切實數(shù)恒成立，等價于不等式對一切實數(shù)恒成立．

，

當(dāng)時，單調(diào)遞減，其值域為，

由于，所以成立． 12分

 

當(dāng)時，由，知， 在處取最小值，

令，得，又，所以

綜上，． 14分

 

考點：（1）一元二次不等式的解法；（2）一元二次不等式的單調(diào)性；（3）恒成立的問題．