Question

7．甲、乙兩個(gè)乒乓球選手進(jìn)行比賽，他們每一局獲勝的概率均為$\frac{1}{2}$，且每局比賽互補(bǔ)影響，規(guī)定“七局四勝”，即先贏四局者勝，若已知甲先贏了前兩局，求：
（Ⅰ）乙取勝的概率；
（Ⅱ）設(shè)比賽局?jǐn)?shù)為X，求X的分布列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)甲先勝了前兩局時(shí)，乙取勝的性質(zhì)有兩種：第一種是乙連勝三局，第二種是在第三局到第六局，乙勝了三局，第七局乙勝，由此能求出甲先贏了前兩局，乙取勝的概率．
（Ⅱ）由已知得X的可能取值為4，5，6，7，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)甲先勝了前兩局時(shí)，乙取勝的性質(zhì)有兩種：第一種是乙連勝三局，第二種是在第三局到第六局，乙勝了三局，第七局乙勝，
第一種情況下乙取勝的概率為：$（\frac{1}{2}）^{4}$=$\frac{1}{16}$，
第二種情況下乙取值的概率為：${C}_{4}^{3}（\frac{1}{2}）^{3}（\frac{1}{2}）（\frac{1}{2}）$=$\frac{1}{8}$，
∴甲先贏了前兩局，乙取勝的概率：
P=$\frac{1}{16}+\frac{1}{8}$=$\frac{3}{16}$．
（Ⅱ）由已知得X的可能取值為4，5，6，7，
P（X=4）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，
P（X=5）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，
P（X=6）=${C}_{2}^{1}（\frac{1}{2}）（\frac{1}{2}）（\frac{1}{2}）$=$\frac{1}{4}$，
P（X=7）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{2}）^{4}（\frac{1}{2}）+{C}_{4}^{3}（\frac{1}{2}）^{4}（\frac{1}{2}）$=$\frac{1}{4}$，
∴X的分布列為：

X	4	5	6	7
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．