Question

16．設(shè)a_n是函數(shù)f_n（x）=xⁿ+nx-1的零點，n∈N⁺，x∈（0，+∞）．
（Ⅰ）求證：a_n∈（0，1），且a_n+1＜a_n；
（Ⅱ）求證：a${\;}_{1}^{2}$+a${\;}_{2}^{2}$+…+a${\;}_{n}^{2}$＜1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明：f_n（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增的，a_n是唯一的，利用零點存在定理證明a_n∈（0，1），證明a_n≥$\frac{1}{n+1}$，同理：$\frac{1}{n+2}$≤a_n+1＜$\frac{1}{n+1}$，即可證明a_n+1＜a_n；
（Ⅱ）先證明n=1，2時，結(jié)論成立，再用裂項法即可證明：a${\;}_{1}^{2}$+a${\;}_{2}^{2}$+…+a${\;}_{n}^{2}$＜1．

解答 證明：（I）∵f_n（x）=xⁿ+nx-1，
∴f_n′（x）=nx^n-1+n＞0，
∴f_n（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增的，
∴a_n是唯一的，…2分，
由f_n（0）=-1＜0，f_n（1）=n＞0且y=f_n（x）的圖象在（0，+∞）上是連續(xù)不斷的，
∴a_n∈（0，1），…4分
又∵f_n（$\frac{1}{n}$）=$（\frac{1}{n}）^{n}$＞0，f_n（$\frac{1}{n+1}$）=$（\frac{1}{n+1}）^{n}$+$\frac{n}{n+1}$-1=$（\frac{1}{n+1}）^{n}$-$\frac{1}{n+1}$＜0，
∴a_n∈[$\frac{1}{n+1}$，$\frac{1}{n}$），
∴a_n≥$\frac{1}{n+1}$…6分，
同理：$\frac{1}{n+2}$≤a_n+1＜$\frac{1}{n+1}$，
∴a_n+1＜a_n；…7分；
（II）∵a₁=$\frac{1}{2}$，
∴${{a}_{1}}^{2}$=$\frac{1}{4}$＜1，
又a_n=$\frac{1-{{a}_{n}}^{n}}{n}$＜$\frac{1}{n}$，
∴${{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}$＜（$（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{1}{2}＜1$，…9分；
當(dāng)n≥3時，a${\;}_{1}^{2}$+a${\;}_{2}^{2}$+…+a${\;}_{n}^{2}$＜$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$+…+$（\frac{1}{n}）^{2}$＜$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{（n-1）n}$
=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$=1-$\frac{1}{n}$＜1．…13分．

點評 本題考查函數(shù)的零點，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．