Question

（08年重慶一中一模理）在中，，分別為邊上的點，且。沿將折起（記為），使二面角為直二面角。⑴當點在何處時，的長度最小，并求出最小值；⑵當的長度最小時，求直線與平面所成的角的大小；⑶當的長度最小時，求三棱錐的內切球的半徑。

Answer 1

解析:

，所以即為直線與平面所成的角。因為，所以即為所求；

⑶因，又，所以。又，故三棱錐的表面積為。因為三棱錐的體積，所以。

法二：⑴因，故。設，則。所以，當且僅當取等號。此時為邊的中點。故當為的中點時，的長度最小，其值為；

⑵因，又，所以。記點到平面的距離為，因，故，解得。因，故；

⑶同“法一”。

法三：⑴如圖，以為原點建立空間直角坐標系，設，則，所以，當且僅當取等號。此時為邊的中點，為邊的中點。故當為邊的中點時，的長度最小，其值為；

⑵設為面的法向量，因，故。

取，得。又因，故。因此，從而，所以；

⑶由題意可設為三棱錐的內切球球心，則，可得。與⑵同法可得平面的一個法向量，又，故，解得。顯然，故。