【題目】已知函數(shù)(其中為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求的單調(diào)性;
(2)若,對于任意,是否存在與有關(guān)的正常數(shù),使得成立?如果存在,求出一個符合條件的;否則說明理由.
【答案】(1)當(dāng)時,在上的單調(diào)遞增;當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;(2)存在與有關(guān)的正常數(shù)
【解析】
(1)求導(dǎo)可得,分別討論,,時的情況,進(jìn)而判斷單調(diào)性即可;
(2)存在與有關(guān)的正常數(shù)使得,即,則,設(shè),滿足即可,利用導(dǎo)數(shù)可得,再設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)性質(zhì)即可求解
(1),
①當(dāng)時,恒成立,所以在上的單調(diào)遞增;
②當(dāng)時,,,所以在上的單調(diào)遞增;
③當(dāng)時,令,得,
當(dāng)時,,單調(diào)遞減;
當(dāng)時,,單調(diào)遞增;
綜上所述:當(dāng)時,在上的單調(diào)遞增;
當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增
(2)存在,
當(dāng)時,,
設(shè)存在與有關(guān)的正常數(shù)使得,即
,
需求一個,使成立,只要求出的最小值,滿足,
∵,∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
∴,
只需證明在內(nèi)成立即可,
令,
,
∴在單調(diào)遞增,
∴,
所以,故存在與有關(guān)的正常數(shù)使成立
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】把方程表示的曲線作為函數(shù)的圖象,則下列結(jié)論正確的有( )
A.的圖象不經(jīng)過第一象限
B.在上單調(diào)遞增
C.的圖象上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值為
D.函數(shù)不存在零點(diǎn)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,及拋物線方程為,點(diǎn)在拋物線上,則使得為直角三角形的點(diǎn)個數(shù)為( )
A.1個B.2個C.3個D.4個
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,證明:在上恒成立;
(2)若函數(shù)有唯一零點(diǎn),求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線在y軸上的截距為.
(1)求a;
(2)討論函數(shù)和的單調(diào)性;
(3)設(shè),求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,當(dāng)時,恒有;
(1)求的表達(dá)式;
(2)設(shè)不等式,的解集為,且,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若方程的解集為,求實數(shù)的取值范圍;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】市場上有一種新型的強(qiáng)力洗衣粉,特點(diǎn)是去污速度快,已知每投放(且)個單位的洗衣粉液在一定量水的洗衣機(jī)中,它在水中釋放的濃度(克/升)隨著時間(分鐘)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為,其中,若多次投放,則某一時刻水中的洗衣液濃度為每次投放的洗衣液在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和,根據(jù)經(jīng)驗,當(dāng)水中洗衣液的濃度不低于4(克/升)時,它才能起有效去污的作用.
(1)若只投放一次4個單位的洗衣液,則有效去污時間可能達(dá)幾分鐘?
(2)若先投放2個單位的洗衣液,6分鐘后投放個單位的洗衣液,要使接下來的4分鐘中能夠持續(xù)有效去污,試求的最小值(精確到0.1,參考數(shù)據(jù): 取).
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