Question

16．在如圖的平面多邊形ACBEF中，四邊形ABEF是矩形，點O為AB的中點，△ABC中，AC=BC，現(xiàn)沿著AB將△ABC折起，直至平面ABEF⊥平面ABC，如圖，此時OE⊥FC．
（1）求證：OF⊥EC；
（2）若FC與平面ABC所成角為30°，求二面角F-CE-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)OC，則OC⊥AB，從而得到OC⊥OE，進(jìn)而得到OF⊥OE，由此能證明OF⊥EC．
（Ⅱ）由（I）得AB=2AF．設(shè)AF=1，AB=2．由∠FCA為直線FC與平面ABC所成的角，知∠FCA=30°，由已知條件推導(dǎo)出∠FMP為二面角F-CE-B的平面角，由此能求出二面角F-CE-B的余弦值

解答 （Ⅰ）證明：連結(jié)OC，∵AC=BC，O是AB的中點，故OC⊥AB．   
又∵平面ABC⊥平面ABEF，
故OC⊥平面ABE，
于是OC⊥OF．OC⊥OE，
又OE⊥FC，
∵OF⊥平面OFC，
∴OE⊥OF，
又∵OC⊥OF，∴OF⊥平面OEC，
∴OF⊥EC． 
（Ⅱ）由（I）得AB=2AF．不妨設(shè)AF=1，AB=2．
∵∠FCA為直線FC與平面ABC所成的角，
∴∠FCA=30°，
∴FC=EC=2，△EFC為等邊三角形．
設(shè)FO∩EB=P，則O，B分別為PF，PE的中點，△PEC也是等邊三角形．
取EC的中點M，連結(jié)FM，MP，則FM⊥CE，MP⊥CE，
∴∠FMP為二面角F-CE-B的平面角．
在△MFP中，F(xiàn)M=MP=$\sqrt{3}$，F(xiàn)P=2$\sqrt{2}$，
故cos∠FMP=$\frac{F{M}^{2}+M{P}^{2}-F{P}^{2}}{2FM•MP}$=$\frac{3+3-8}{3×\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=$-\frac{1}{3}$，
即二面角F-CE-B的余弦值為-$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，本題也可以建立坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行求解．