Question

4．由曲線$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y={t}^{2}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）和y=x+2圍成的封閉圖形的面積為$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 先消去參數(shù)t，可得曲線為y=x²，聯(lián)立方程，組成方程組，求得交點坐標，可得被積區(qū)間，再用定積分表示出曲線y=x²與直線y=2+x圍成的封閉圖形的面積，即可求得結(jié)論．

解答 解：由曲線$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y={t}^{2}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
可得曲線為y=x²，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴曲線y=x²與直線y=2+x圍成的封閉圖形的面積為${∫}_{-1}^{2}$（x+2-x²）dx
=（$\frac{1}{2}$x²+2x-$\frac{1}{3}$x³）|${\;}_{-1}^{2}$=（$\frac{1}{2}$×4+4-$\frac{8}{3}$）-（$\frac{1}{2}$-2+$\frac{1}{3}$）=$\frac{9}{2}$．
故答案為：$\frac{9}{2}$．

點評 本題考查參數(shù)方程和普通方程的互化，利用定積分求面積，解題的關(guān)鍵是確定被積區(qū)間及被積函數(shù)．