Question

11．已知函數(shù)f（x）=2^x的反函數(shù)為f^-1（x）
（1）若f^-1（x）-f^-1（1-x）=1，求實數(shù)x的值；
（2）若關于x的方程f（x）+f（1-x）-m=0在區(qū)間[0，2]內(nèi)有解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）易得f^-1（x）=log₂x，解關于x的對數(shù)方程可得；
（2）易得m的范圍即為函數(shù)y=2^x+2^1-x在[0，2]的值域，由“對勾函數(shù)”的單調(diào)性可得．

解答 解：（1）f（x）=2^x的反函數(shù)為f^-1（x）=log₂x，
由若f^-1（x）-f^-1（1-x）=1可得log₂x-log₂（1-x）=1，
∴l(xiāng)og₂$\frac{x}{1-x}$=1，∴$\frac{x}{1-x}$=2，解得x=$\frac{2}{3}$；
（2）∵關于x的方程f（x）+f（1-x）-m=0在區(qū)間[0，2]內(nèi)有解，
∴2^x+2^1-x=m在區(qū)間[0，2]內(nèi)有解，
∴m的范圍即為函數(shù)y=2^x+2^1-x在[0，2]的值域，
函數(shù)y=2^x+2^1-x=2^x+$\frac{2}{{2}^{x}}$在（0，$\frac{1}{2}$）單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{2}$，2）單調(diào)遞增，
∴當x=$\frac{1}{2}$時，函數(shù)取最小值2$\sqrt{2}$，
當x=2時，函數(shù)取最大值$\frac{9}{2}$，
∴實數(shù)m的取值范圍為$[{2\sqrt{2}，\frac{9}{2}}]$．

點評 本題考查反函數(shù)，涉及函數(shù)的值域和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎題．