Question

若以曲線y=x³+bx²+4x+c（c為常數(shù)）上任意一點(diǎn)為切點(diǎn)的切線的斜率恒為非負(fù)數(shù)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=x₀處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，則

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x₀²+2bx₀+4＞0對(duì)?x₀∈R恒成立，然后利用判別式進(jìn)行求解即可．

解答： 解：設(shè)點(diǎn)（x₀，y₀）為曲線y=x³+bx²+4x+c上的任意一點(diǎn)，
則該點(diǎn)處的切線斜率為k=

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x₀²+2bx₀+4；
∴由已知得

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3

x₀²+2bx₀+4≥0對(duì)?x₀∈R恒成立；
∴△=4b²-

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≤0，解得-

2 3

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≤b≤

2 3

3

，
故答案為：[-

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3

，

2 3

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬于中檔題．