Question

【題目】已知函數且.

（1）求a；

（2）證明：存在唯一的極大值點，且.

Answer 1

【答案】（1）a=1；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）根據題意結合導函數與原函數的關系可求得，注意驗證結果的正確性；（2）結合（1）的結論構造函數，結合的單調性和的解析式即可證得題中的不等式成立．

試題解析：（1）的定義域為

設，則等價于

因為

若a=1，則.當0＜x＜1時，單調遞減；當x＞1時，＞0，單調遞增.所以x=1是的極小值點，故

綜上，a=1

（2）由（1）知

設

當時，；當時，，所以在單調遞減，在單調遞增

又，所以在有唯一零點x0，在有唯一零點1，且當時，；當時，，當時，.

因為，所以x=x0是f(x)的唯一極大值點

由

由得

因為x=x0是f(x)在（0,1）的最大值點，由得

所以

點睛:導數是研究函數的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數是高中數學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數的應用的考查都非常突出．導數專題在高考中的命題方向及命題角度：從高考來看，對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行：（1）考查導數的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系；（2）利用導數求函數的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性求參數；（3）利用導數求函數的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題；（4）考查數形結合思想的應用．