分析 (1)在Rt△PAB中計算PA,再代入棱錐的體積公式計算;
(2)取棱AC的中點N,連接MN,NP,分別求出△PMN的三邊長,利用余弦定理計算cos∠PMN即可.
解答 解:(1)∵PA⊥平面ABC,
∴∠PBA為PB與平面ABC所成的角,即$∠PBA=\frac{π}{6}$,
∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥AB,又AB=6,∴$PA=2\sqrt{3}$,
∴${V_{P-ABC}}=\frac{1}{3}{S_{△ABC}}•PA=\frac{1}{3}•\frac{{\sqrt{3}}}{4}•{6^2}•2\sqrt{3}=18$.
(2)取棱AC的中點N,連接MN,NP,
∵M,N分別是棱BC,AC的中點,
∴MN∥BA,∴∠PMN為異面直線PM與AB所成的角.
∵PA⊥平面ABC,所以PA⊥AM,PA⊥AN,
又$MN=\frac{1}{2}AB=3$,AN=$\frac{1}{2}$AC=3,BM=$\frac{1}{2}$BC=3,
∴AM=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=3$\sqrt{3}$,$PN=\sqrt{P{A^2}+A{N^2}}=\sqrt{21}$,$PM=\sqrt{P{A^2}+A{M^2}}=\sqrt{39}$,
所以$cos∠PMN=\frac{{M{P^2}+M{N^2}-P{N^2}}}{2MP•MN}=\frac{{3\sqrt{39}}}{26}$,
故異面直線PM與AB所成的角為$arccos\frac{{3\sqrt{39}}}{26}$.
點評 本題考查了棱錐的體積計算,空間角的計算,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{3}{4}$ | B. | 1 | C. | $\frac{5}{4}$ | D. | $\frac{7}{4}$ |
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A. | b>a>c | B. | c>b>a | C. | c>a>b | D. | a>c>b |
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A. | 截兩坐標(biāo)軸所得弦的長度相等 | B. | 與兩坐標(biāo)軸都相切 | ||
C. | 與兩坐標(biāo)軸相離 | D. | 上述情況都有可能 |
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A. | 80 | B. | 120 | C. | 160 | D. | 60 |
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A. | $\frac{π}{12}$ | B. | $\frac{π}{6}$ | C. | $\frac{π}{3}$ | D. | $\frac{5π}{6}$ |
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