Question

10．若△OAB的垂心H（1，0）恰好為拋物線y²=2px的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、B在此拋物線上，則此拋物線的方程是y²=4x，△OAB面積是10$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)焦點(diǎn)為H（1，0），求出拋物線的方程，利用對(duì)稱性，及AH⊥OB，得$\frac{2a}{{{a^2}-1}}•\frac{2b}{b^2}=-1$，解得$a=\sqrt{5}$（不妨取正值），即可計(jì)算面積．

解答 解：因?yàn)榻裹c(diǎn)為H（1，0），所以拋物線的方程是y²=4x．
設(shè)A（a²，2a），B（b²，2b），由拋物線的對(duì)稱性可知，b=-a．
又因?yàn)锳H⊥OB，得$\frac{2a}{{{a^2}-1}}•\frac{2b}{b^2}=-1$，解得$a=\sqrt{5}$（不妨取正值），
從而可得△OAB面積是$\frac{1}{2}×5×4\sqrt{5}$=10$\sqrt{5}$．
故答案為${y^2}=4x，10\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查方程思想的運(yùn)用，屬于中檔題．