Question

15．橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{1}{3}$，左焦點F到直線l：x=9的距離為10，圓G：（x-1）²+y²=1，
（1）求橢圓的方程；
（2）若P是橢圓上任意一點，EF為圓N：（x-1）²+y²=4的任一直徑，求$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$的取值范圍；
（3）是否存在以橢圓上點M為圓心的圓M，使得圓M上任意一點N作圓G的切線，切點為T，都滿足$\frac{|NF|}{|NT|}=\sqrt{2}$？若存在，求出圓M的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$，即a=3c，9-（-c）=10，則c=1，a=3，b²=a²-c²=8，即可求得橢圓的方程；
（2）由向量數(shù)量積的坐標運算$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}={\overrightarrow{PN}^2}-1={（x-1）^2}+{y^2}-1={（x-1）^2}+（8-\frac{8}{9}{x^2}）-1={（\frac{1}{3}x-3）^2}-1$，由（1）可知，即可求得$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$的取值范圍；
（3）設(shè)圓M（x-m）²+（y-n）²=r²（r＞0），其中$\frac{m^2}{9}+\frac{n^2}{8}=1$，由于$\frac{|NF|}{|NT|}=\sqrt{2}$，則x²+y²-6x-1=0，代入得2（m-3）x+2ny-m²-n²+r²-1=0對圓M上任意點N恒成立，即可求得m和n，求得圓M的方程．

解答 解：（1）由橢圓的焦點在x軸上，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$，即a=3c，
由左焦點F（-c，0）到直線l：x=9的距離為10，即9-（-c）=10，則c=1，
a=3，b²=a²-c²=8，
橢圓的方程$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$；…（3分）
（2）由$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}={\overrightarrow{PN}^2}-1={（x-1）^2}+{y^2}-1={（x-1）^2}+（8-\frac{8}{9}{x^2}）-1={（\frac{1}{3}x-3）^2}-1$，
∵-3≤x≤3，
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}∈[3，15]$，
即$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$的取值范圍是[3，15]；…（8分）
（3）設(shè)圓M（x-m）²+（y-n）²=r²（r＞0），其中$\frac{m^2}{9}+\frac{n^2}{8}=1$，
則x²+y²=2mx+2ny-m²-n²+r²．    …（10分）
由于$\frac{|NF|}{|NT|}=\sqrt{2}$，則（x+1）²+y²=2[（x-1）²+y²-1]，…（12分）
即x²+y²-6x-1=0，代入x²+y²=2mx+2ny-m²-n²+r²，
得2（m-3）x+2ny-m²-n²+r²-1=0對圓M上任意點N恒成立．
只要使$\left\{\begin{array}{l}m-3=0\\ n=0\\{r^2}={m^2}+{n^2}+1\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}m=3\\ n=0\\ r=\sqrt{10}\end{array}\right.$，
經(jīng)檢驗滿足$\frac{m^2}{9}+\frac{n^2}{8}=1$，故存在符合條件的圓，它的方程是（x-3）²+y²=10． …（15分）

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質(zhì)，向量數(shù)量積的坐標運算，圓的性質(zhì)，考查計算能力，屬于中檔題．