Question

3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)（$\sqrt{2}$，1），且與直線$\sqrt{2}$x+2y-4=0相切．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若橢圓E與x軸交于M、N兩點(diǎn)，橢圓E內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)P使|PM|、|PO|、|PN|成等比數(shù)列，求$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）與直線$\sqrt{2}$x+2y-4=0相切，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}x+2y-4=0}\\{^{2}{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}={a}^{2}^{2}}\end{array}\right.$，
由△=0，可得$\frac{1}{2}{a}^{2}+^{2}=4$…①，由橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)（$\sqrt{2}$，1），∴$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1$…②，由①②得a²，b²
（2）設(shè)P（m，n），由|PO|²=|PN|•|PM|⇒（m²+n²）²=$\sqrt{（m-2）^{2}+{n}^{2}}•\sqrt{（m+2）^{2}+{n}^{2}}$⇒m²=n²+2，
∴$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}={m}^{2}+{n}^{2}-4$=2n²-2，由n的范圍求得其范圍，

解答 解：（1）∵橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）與直線$\sqrt{2}$x+2y-4=0相切，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}x+2y-4=0}\\{^{2}{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}={a}^{2}^{2}}\end{array}\right.$，
整理得（$^{2}+\frac{1}{2}{a}^{2}$）x²-2$\sqrt{2}$a²x+4a²-a²b²=0，
由△=0，可得$\frac{1}{2}{a}^{2}+^{2}=4$…①
∵橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)（$\sqrt{2}$，1），∴$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1$…②
由①②得a²=4，b²=2．∴橢圓E的方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）由（1）得M（-2，0））、PN（2，0），設(shè)P（m，n）
∵|PM|、|PO|、|PN|成等比數(shù)列，
∴|PO|²=|PN|•|PM|⇒（m²+n²）²=$\sqrt{（m-2）^{2}+{n}^{2}}•\sqrt{（m+2）^{2}+{n}^{2}}$
⇒m²=n²+2，…③
∵$\overrightarrow{PM}=（-2-m，-n），\overrightarrow{PN}=（2-m，-n）$，∴$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}={m}^{2}+{n}^{2}-4$=2n²-2
∵P在橢圓E內(nèi)部，∴0≤n²＜1，
∴$-2≤\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}＜0$．即$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$的取值范圍為[-2，0）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的方程，向量的數(shù)量積、等比數(shù)列，對(duì)運(yùn)算能力的考查，屬于中檔題．