Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}sinxcosx+{sin^2}$x．
（1）當(dāng)$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$時，求f（x）的最大值；
（2）設(shè)A，B，C為△ABC的三個內(nèi)角，$f（{\frac{C}{2}}）=1$，且C為銳角，c=$\sqrt{3}$，求a-b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，由已知可求范圍$2x-\frac{π}{6}∈[{-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}]$，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求最大值．
（2）由已知可求$sin（{C-\frac{π}{6}}）=\frac{1}{2}$，結(jié)合C為銳角，可求C，利用正弦定理可得a=2sinA，b=2sinB，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求a-b=2sin（A-$\frac{π}{3}$），結(jié)合范圍$A∈（{0，\frac{2π}{3}}）$，可求$A-\frac{π}{3}∈（{-\frac{π}{3}，\frac{π}{3}}）$，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求其范圍．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1-cos2x}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2}=sin（{2x-\frac{π}{6}}）+\frac{1}{2}$，
∵$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，
∴$2x-\frac{π}{6}∈[{-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}]$，
∴當(dāng)$2x-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$時，$f{（x）_{max}}=\frac{3}{2}$．
（2）$f（{\frac{C}{2}}）=sin（{C-\frac{π}{6}}）+\frac{1}{2}=1$，
∴$sin（{C-\frac{π}{6}}）=\frac{1}{2}$，
又∵C為銳角，
∴$C=\frac{π}{3}$．
∵$c=\sqrt{3}$，
∴$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{{\sqrt{3}}}{{sin\frac{π}{3}}}=2$，
∴a=2sinA，b=2sinB，
又$A+B=\frac{2π}{3}$，
∴$B=\frac{2π}{3}-A，A∈（{0，\frac{2π}{3}}）$，
∴$a-b=2sinA-2sinB=2sinA-2sin（{\frac{2π}{3}-A}）=sinA-\sqrt{3}cosA=2sin（{A-\frac{π}{3}}）$，
又∵$A∈（{0，\frac{2π}{3}}）$，
∴$A-\frac{π}{3}∈（{-\frac{π}{3}，\frac{π}{3}}）$，
∴$2sin（{A-\frac{π}{3}}）∈（{-\sqrt{3}，\sqrt{3}}）$，即$a-b∈（{-\sqrt{3}，\sqrt{3}}）$．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力，轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．