Question

【題目】設(shè)函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù).

（1）求實數(shù)k的值；

（2）若，試判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求不等式的解集；

（3）若，設(shè)，在上的最小值為-1，求實數(shù)m的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）為R上的增函數(shù). .（3）

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，得，求得，再驗證可得值；

（2）由，解得的范圍，再根據(jù)單調(diào)性的定義可證得函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的奇偶性可將不等式變形為，再由函數(shù)的單調(diào)性可解得不等式的解集；

（3）由可求得，從而得出，再由函數(shù)的值域，討論二次函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的關(guān)系得出最小值，可求得參數(shù)的值.

（1）因為函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，所以，即，得.

當(dāng)時，，，符合題意.

所以.

（2）由（1）知，，解得

設(shè)，是任意兩個實數(shù)，且，

則

因為，，，所以，

所以，即，所以為R上的增函數(shù).

因為是定義域為R的奇函數(shù)，所以，

不等式同解于.

因為為R上的增函數(shù)，所以，即，解得或，

所以不等式的解集為.

（3）由得，解得.所以，

由（2）知是單調(diào)遞增函數(shù)，因為，所以.

令，則，.

當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增，不合題意；

當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞減，，解得；

當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，得（舍去），

綜上可得，實數(shù)m的值為.