Question

4．若橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，則雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的漸近線方程為$y±\frac{1}{2}x$，離心率為$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 由橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，可得$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，不妨設a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1．則雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的漸近線方程為y=$±\frac{a}$x，離心率=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{a}$．

解答 解：由橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，不妨設a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1．
則雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的漸近線方程為y=$±\frac{1}{2}$x，離心率e=$\frac{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案分別為：$y±\frac{1}{2}x$；$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查了橢圓與雙曲線的標準方程及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．