Question

9．設(shè)數(shù)列{a_n}是公比小于1的正項(xiàng)等比數(shù)列，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，已知S₂=12，且a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=a_n•（n-λ），且數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，列出方程組$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{+a}_{1}q=12}\\{2{（a}_{1}q+1）{=a}_{1}{{+a}_{1}q}^{2}}\end{array}\right.$，求出a₁和q的值，寫(xiě)出通項(xiàng)公式a_n即可；
（2）由（1）寫(xiě)出通項(xiàng)公式b_n，根據(jù)數(shù)列{b_n}是單調(diào)減數(shù)列，b_n＜b_n-1，列不等式解不等式即可．

解答 解：（1）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由題意得0＜q＜1，
∵S₂=12，且a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{+a}_{1}q=12}\\{2{（a}_{1}q+1）{=a}_{1}{{+a}_{1}q}^{2}}\end{array}\right.$，
解得a₁=8，q=$\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=8•${（\frac{1}{2}）}^{n-1}$=${（\frac{1}{2}）}^{n-4}$；
（2）由（1）知，b_n=a_n•（n-λ）=${（\frac{1}{2}）}^{n-4}$•（n-λ），
且數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，
∴b_n＜b_n-1，
∴b_n-b_n-1=（n-λ）•${（\frac{1}{2}）}^{n-4}$-（n-1-λ）•${（\frac{1}{2}）}^{n-5}$=${（\frac{1}{2}）}^{n-4}$•（2+λ-n）＜0，（n≥2）；
∵上式對(duì)任意正整數(shù)n都成立，
∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍是λ＜0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差與等比數(shù)列的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了不等式的解法與應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．