Question

10．已知關于x的方程x²+2ax+b=0有兩個實根x₁，x₂，且x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]．
（1）求a+b的取值范圍；
（2）當a+b最小時，不等式x²+2amx+b≥mx²+m在x＞-3時恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）構造函數(shù)，建立不等式組，可得平面區(qū)域，即可求a+b的取值范圍；
（2）不等式x²+2amx+b≥mx²+m在x＞-3時恒成立，等價于不等式（m-1）x²+mx+m+2≥0在x＞-3時恒成立．構造函數(shù)，分類討論，即可求m的取值范圍．

解答 解：（1）設f（x）=x²+2ax+b，
∵關于x的方程x²+2ax+b=0有兩個實根x₁，x₂，且x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]．
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=1-2a+b≥0}\\{f（0）=b≤0}\\{f（1）=2a+b+1≤0}\\{f（2）=4a+b+4≥0}\end{array}\right.$，
不等式表示的區(qū)域，如圖所示，
令z=a+b，則直線z=a+b過A（-$\frac{1}{2}$，0）時，z的最大值為$\frac{1}{2}$；直線z=a+b過C（-$\frac{1}{2}$，-2）時，z的最大值為-$\frac{5}{2}$．
∴a+b的取值范圍是[-$\frac{5}{2}$．-$\frac{1}{2}$]；
（2）由（1）知，a=-$\frac{1}{2}$，b=-2時，z=a+b最小，
∴不等式x²+2amx+b≥mx²+m在x＞-3時恒成立，等價于不等式（m-1）x²+mx+m+2≥0在x＞-3時恒成立．
令g（x）=（m-1）x²+mx+m+2，則
m-1=0，即m=1時，f（x）=x+3≥0在x＞-3上恒成立，符合題意；
m-1≠0，即m≠1時，f（x）的對稱軸x=-$\frac{m}{2（m-1）}$，則$\left\{\begin{array}{l}{m-1＞0}\\{-\frac{m}{2（m-1）}≥-3}\\{△={m}^{2}-4（m-1）（m+2）≤0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m-1＞0}\\{-\frac{m}{2（m-2）}＜-3}\\{f（-3）=7m-7≥0}\end{array}\right.$，
∴m≥$\frac{6}{5}$或1＜m＜$\frac{6}{5}$，
∴m≥1．

點評 本題考查方程根的討論，考查線性規(guī)劃知識，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于難題．