Question

20．已知：log_ab+3log_ba=$\frac{13}{2}$（a＞b＞1），求$\frac{a+^{4}}{{a}^{2}+^{2}}$的值．

Answer 1

分析 根據(jù)條件結(jié)合一元二次方程求出a，b的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：∵log_ab+3log_ba=$\frac{13}{2}$（a＞b＞1），
∴l(xiāng)og_ab+3×$\frac{1}{lo{g}_{a}b}$=$\frac{13}{2}$，
設(shè)t=log_ab，
∵a＞b＞1，
∴0＜t＜1，
則條件等價為t+$\frac{3}{t}$-$\frac{13}{2}$=0，
即2t²-13t+6=0，（2t-1）（t-6）=0，
解得t=6（舍）或t=$\frac{1}{2}$，
即log_ab=$\frac{1}{2}$，即b=${a}^{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{a}$，
則$\frac{a+^{4}}{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{a+{a}^{2}}{{a}^{2}+a}=1$．

點評 本題主要考查對數(shù)和指數(shù)冪的運算和化簡，根據(jù)一元二次方程求出a，b的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．