Question

15．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的實(shí)軸長(zhǎng)，虛軸長(zhǎng)，焦距依次成等差數(shù)列，則該雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{4}{3}$x．

Answer 1

分析 通過(guò)雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、焦距長(zhǎng)成等差數(shù)列，可得2b=a+c，再由a，b，c的關(guān)系，求出a，b的關(guān)系式，然后求解雙曲線的漸近線方程即可．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的實(shí)軸長(zhǎng)2a、虛軸長(zhǎng)2b、焦距長(zhǎng)2c成等差數(shù)列，
所以4b=2a+2c，及a+c=2b，
又c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，
即有a²+b²=（2b-a）²，
化簡(jiǎn)可得4a=3b，
雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為：y=±$\frac{a}$x．
即為y=±$\frac{4}{3}$x．
故答案為：y=±$\frac{4}{3}$x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查雙曲線的漸近線方程，同時(shí)考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題．