Question

由于某種商品開始收稅，使其定價比原定價上漲x成（即上漲率為

x

10

），漲價后商品賣出的個數(shù)減少bx成，稅率是新價的a成，這里a，b均為常數(shù)，且a＜10，用A表示過去定價，B表示過去賣出的個數(shù)．
（1）設(shè)售貨款扣除稅款后，剩余y元，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）要使y最大，求x的值．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）定價上漲x成，即為A（1+

x

10

），賣出的個數(shù)為B（1-

bx

10

），售貨款扣除稅款后，能求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式．
（2）由已知得y′=AB(1-

a

10

)(-

b

50

x+

1

10

-

b

10

)，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出使y最大的x的值．

解答： 解：（1）定價上漲x成，即為A（1+

x

10

），
賣出的個數(shù)為B（1-

bx

10

），售貨款扣除稅款后，
剩余y=AB（1+

x

10

）（1-

bx

10

）（1-

a

10

），（0＜x＜10）．
（2）y=AB（1+

x

10

）（1-

bx

10

）（1-

a

10

）
=AB（1-

a

10

）[-

b

100

x2+（

1

10

-

b

10

）x+1]，
∴y′=AB(1-

a

10

)(-

b

50

x+

1

10

-

b

10

)，
令y′=0，得x=

5(1-b)

b

，
x∈（0，

5(1-b)

b

）時，y′＞0；當(dāng)x∈（

5(1-b)

b

，10）時，y′＜0．
∴y_max=y|x=

5(1-b)

b

=AB（1-

a

10

）•

(1+b)2

4b

．
∴使y最大有x的值為

5(1-b)

b

．

點評：本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查要使y最大，x的值的求法，解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．